미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (2 x - 4) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} - 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 4$

단계 1.2

$u = x^{2} - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

단계 1.3.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 - 4$

단계 1.3.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 3$

단계 1.4

$u = x^{2} - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

단계 1.5.1.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 9 - 12$

단계 1.5.2

$9$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 3$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 3$ , $- 3$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\ln (| - 3 |)$ 에서 $\ln (| - 3 |)$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot 0$

단계 5.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 6