미적분 예제

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u = 2 \tan (t)$ 라고 하면 $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.1

$2 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.5

항을 다시 배열합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ 을 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2

$2 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$2 \sec^{2} (t)$ 에서 $2 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \int \sec (t) d t$

단계 6

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

단계 8

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 8.1

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{u}{2})$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

단계 8.2

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$