미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

단계 2

먼저 $u = π x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = π d x$ 이므로 $\frac{1}{π} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = π x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$π x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π x]$

단계 2.1.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$π \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$π \cdot 1$

단계 2.1.4

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π$

단계 2.2

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = π \cdot 1$

단계 2.3

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = π$

단계 2.4

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = π t$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

단계 3

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{π}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

단계 4

$\frac{1}{π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

단계 7

$\frac{1}{π}$ 와 $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

단계 8

$π t$ , $π$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.1.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.2

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $2$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 9.2.1

상수 배수 $2$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.2.2

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{π t}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.2.3

$t$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.3

극한값을 계산합니다.

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단계 9.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2 π^{\frac{1}{2}}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

단계 9.3.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $π$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

단계 9.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.3.1

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{π}$

단계 9.3.3.2

무한대를 유한하고 0이 아닌 모든 값으로 나누면 무한대입니다.

$\infty$