미적분 예제

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

단계 1

$f (x) = x^{9}$ , $g (x) = \sin^{5} (x^{3} + 7)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

단계 1.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

단계 2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

단계 2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{3} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

단계 3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

단계 3.3

$u_{3}$ 를 모두 $x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]))$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]))$

단계 4.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0))$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2}))$

단계 4.4.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2})$

단계 4.4.3

$15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

단계 5

항을 묶습니다.

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단계 5.1

${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 {\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

단계 5.1.2

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$9 \sin^{40} (x^{3} + 7) (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

단계 5.2

$15$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$135 \sin^{40} (x^{3} + 7) (x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$135 (x^{2} {\sin (x^{3} + 7)}^{40 + 4} \cos (x^{3} + 7))$

단계 5.4

$40$ 를 $4$ 에 더합니다.

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$