미적분 예제

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $4 - \frac{x^{2}}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ 가 됩니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

단계 2.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ 에 더합니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

단계 2.6

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.7

항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.3

$\frac{- 3}{3}$ 와 ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.4

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.4.1

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.4.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.7.4.2.4

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

단계 2.9

식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

단계 2.9.2

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$