미적분 예제

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.6

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 32 x^{2}$ 의 미분은 $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

단계 1.5.2

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{2}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 64 x$ 의 미분은 $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \frac{d}{d x} x$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \cdot 1$

단계 2.4.3

$- 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.6

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 32 x^{2}$ 의 미분은 $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.4.3

$2$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.5.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

단계 4.1.5.2

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2 x^{3}$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

단계 5.2.1.2

$24 x^{2}$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 64 x = 0$

단계 5.2.1.3

$- 64 x$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

단계 5.2.1.4

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

단계 5.2.1.5

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (32)$ 에서 $- 2 x$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 32) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 12 x + 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $32$ 이고 합은 $- 12$ 입니다.

$- 8, - 4$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 2 x ((x - 8) (x - 4)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 5.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 5.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5.7

$- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 8, 4$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 8, 4$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 {(0)}^{2} + 48 (0) - 64$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 6 \cdot 0 + 48 (0) - 64$

단계 9.1.2

$- 6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 48 (0) - 64$

단계 9.1.3

$48$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 - 64$

단계 9.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - 64$

단계 9.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$- 64$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2.1.2.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2.1.4

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

단계 11.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 0 - 32 \cdot 0 - 5$

단계 11.2.1.6

$- 32$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 5$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 5$

단계 11.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 - 5$

단계 11.2.2.3

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (0) = - 5$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 5$ 입니다.

$y = - 5$

단계 12

$x = 8$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 {(8)}^{2} + 48 (8) - 64$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 6 \cdot 64 + 48 (8) - 64$

단계 13.1.2

$- 6$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- 384 + 48 (8) - 64$

단계 13.1.3

$48$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 384 + 384 - 64$

단계 13.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 384$ 를 $384$ 에 더합니다.

$0 - 64$

단계 13.2.2

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$- 64$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = 8$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 8$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = 8$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{4} + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.2.2

$4096$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2048)) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2048) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f (8) = - 1 \cdot 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.3

$- 1$ 에 $2048$ 을 곱합니다.

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.4

지수를 더하여 $8$ 에 ${(8)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.4.1

$8$ 에 ${(8)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.4.1.1

$8$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (8) = - 2048 + 8^{1 + 3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.4.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (8) = - 2048 + 8^{4} - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.5

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 {(8)}^{2} - 5$

단계 15.2.1.6

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 \cdot 64 - 5$

단계 15.2.1.7

$- 32$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (8) = - 2048 + 4096 - 2048 - 5$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 2048$ 를 $4096$ 에 더합니다.

$f (8) = 2048 - 2048 - 5$

단계 15.2.2.2

$2048$ 에서 $2048$ 을 뺍니다.

$f (8) = 0 - 5$

단계 15.2.2.3

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (8) = - 5$

단계 15.2.3

최종 답은 $- 5$ 입니다.

$y = - 5$

단계 16

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 6 {(4)}^{2} + 48 (4) - 64$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 6 \cdot 16 + 48 (4) - 64$

단계 17.1.2

$- 6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 96 + 48 (4) - 64$

단계 17.1.3

$48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 96 + 192 - 64$

단계 17.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$- 96$ 를 $192$ 에 더합니다.

$96 - 64$

단계 17.2.2

$96$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$32$

단계 18

이계도함수가 양수이므로 $x = 4$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4$ 은 극소값입니다.

단계 19

$x = 4$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.2.2

$256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f (4) = - 1 \cdot 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.3

$- 1$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$f (4) = - 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (4) = - 128 + 8 \cdot 64 - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.5

$8$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (4) = - 128 + 512 - 32 {(4)}^{2} - 5$

단계 19.2.1.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (4) = - 128 + 512 - 32 \cdot 16 - 5$

단계 19.2.1.7

$- 32$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (4) = - 128 + 512 - 512 - 5$

단계 19.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1

$- 128$ 를 $512$ 에 더합니다.

$f (4) = 384 - 512 - 5$

단계 19.2.2.2

$384$ 에서 $512$ 을 뺍니다.

$f (4) = - 128 - 5$

단계 19.2.2.3

$- 128$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (4) = - 133$

단계 19.2.3

최종 답은 $- 133$ 입니다.

$y = - 133$

단계 20

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ 에 대한 극값입니다.

$(0, - 5)$ 은 극댓값임

$(8, - 5)$ 은 극댓값임

$(4, - 133)$ 은 극솟값임

단계 21