미적분 예제

$f (x) = - | x + 1 | + 6$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- | x + 1 | + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x + 1 |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.2.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.2.7

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

단계 1.3.2

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = | x + 1 |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.4.2

$| x + 1 |$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.4.2

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 0$

단계 2.5.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.6.1

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + 0$

단계 2.5.6.2

$- \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.2

$- x - 1$ 에 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.1.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.3

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.4

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.5

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.6

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $| x + 1 |$ 을 표현하기 위해 $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.4.1

$| x + 1 | | x + 1 |$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.2.4.1.1

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.1.2

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.1.3

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.2

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.2.4.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.4.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.4.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.4.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.4.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.5

${(x + 1)}^{2}$ 을 $(x + 1) (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.7.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.7.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.7.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.7.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.9.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.10

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11

인수분해된 형태로 $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.11.1

항을 다시 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.2

$- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.11.2.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.2.2

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.2.3

$| x^{2} + 2 x + 1 |$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.2.4

$- (x^{2}) - (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.2.5

$- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.3

$- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.11.3.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.3.2

$- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.3.3

$- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 을 $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.4.11.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

단계 2.6.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.1

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}})$

단계 2.6.3.2

$\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ 에 $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

단계 2.6.3.3

지수를 더하여 ${| x + 1 |}^{2}$ 에 $| x + 1 |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.3.1

${| x + 1 |}^{2}$ 에 $| x + 1 |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.3.3.1.1

$| x + 1 |$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

단계 2.6.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

단계 2.6.3.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

단계 2.6.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}})$

단계 2.6.3.5

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- | x + 1 | + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x + 1 |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.2.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.2.7

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

단계 4.1.3.2

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 입니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5.4

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$| x + 1 | = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x + 1 = \pm 0$

단계 6.2.2

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x + 1 = 0$

단계 6.2.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 1$

단계 8

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

단계 9.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

단계 9.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

단계 9.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 의 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = - \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

단계 10.2.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 3 |}$

단계 10.2.2.2.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 3$ 과 $0$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{3}$

단계 10.2.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

$- 3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$f' (- 4) = 1$

단계 10.2.2.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = 1$

단계 10.2.2.4

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 10.3

1차 도함수 $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 의 $(- 1, \infty)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

단계 10.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{| 0 + 1 |}$

단계 10.3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.2.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{| 1 |}$

단계 10.3.2.2.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

단계 10.3.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.3.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

단계 10.3.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

단계 10.3.2.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = - 1$

단계 10.3.2.4

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 10.4

1차 도함수의 부호가 $x = - 1$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = - 1$ 은 극댓값입니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 11