미적분 예제

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3} - 3 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3} - 3 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3} - 3 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} - 3 + 0$

단계 1.1.4.2

$3 x^{2} - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 3$

단계 1.2

$u = x^{3} - 3 x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

단계 1.3.1.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

단계 1.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 1.3.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = x^{3} - 3 x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

단계 1.5.1.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

단계 1.5.2

$8$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 2 + 1$

단계 1.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 3$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

단계 4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3$ , $1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

단계 5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

단계 6.2

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

단계 6.3

$\frac{1}{3}$ 와 $e$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

소수 형태:

$5.78908503 \dots$

단계 8