미적분 예제

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ 을 $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$3 \cos^{3} (x)$ 을 $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1

$\cos^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

단계 1.1.2

$3$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

단계 1.1.3

괄호를 표시합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 \cos (x)}$ 을(를) ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$3 \cos (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

$3 (\cos (x))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

단계 7

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

단계 7.2

식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

단계 7.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 7.3

$3^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 8

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 8.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 8.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 12

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 12.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 13

$\frac{3}{2}$ 와 ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 14

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $3^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 15.1

$3^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15.2

$3^{\frac{1}{2}}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

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단계 15.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 15.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 16

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

단계 17

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$