미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{n}$ , $a_{n + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.2

$\frac{4}{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.3

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ 및 ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ 에서 ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

단계 2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

단계 2.2.3.2.4

${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

단계 2.2.4

$n$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

단계 2.2.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

단계 2.2.5.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

단계 2.2.6

$n$ 에서 $n$ 을 뺍니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

단계 2.2.7

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

단계 2.2.8

간단히 합니다.

$r = \frac{1}{3}$

단계 3

$| r | < 1$ 이므로 급수가 수렴합니다.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

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단계 4.1

$n$ 의 $1$ 을 $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 에 대입합니다.

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

단계 4.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

단계 4.2.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

단계 4.2.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 4.2.5

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

단계 4.2.6

$- \frac{4}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a = - \frac{4}{3}$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 6.2.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

단계 6.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

단계 6.4

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$- \frac{4}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

단계 6.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

단계 6.6.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2$