미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

단계 1

극한 인수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

단계 1.2

항을 묶습니다.

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단계 1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $5 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

단계 1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

단계 2

극한 인수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

단계 2.2

인수끼리 묶습니다.

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단계 2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

단계 2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

단계 2.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

단계 2.2.4

$\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

단계 3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

단계 3.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

단계 3.4.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

단계 3.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

단계 3.4.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

단계 4

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x^{4}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x^{3}$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

$5 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.2.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

단계 5.2.2

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

단계 5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

단계 5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 5.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 5.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 5.5

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{4}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

단계 8.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

단계 8.3

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 9

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$5 \cdot 0 + 0$ 및 $2 + 5 \cdot 0$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

단계 10.1.2

$5 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

단계 10.1.3

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

단계 10.1.4

$2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

단계 10.1.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.5.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

단계 10.1.5.2

$0 \cdot 5$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

단계 10.1.5.3

$2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

단계 10.1.5.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

단계 10.1.5.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

단계 10.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

단계 10.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

단계 10.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$0$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 + 0}$

단계 10.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1}$

단계 10.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$