미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = 2$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.1.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.1.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.3.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0} = 2$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.3.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.5

$2 e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{1} = 2$

단계 1.4

$2 e^{2 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} = 2$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 0} e^{2 x} = 2$

단계 2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} = 2$

단계 2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 e^{2 lim_{x \to 0} x} = 2$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 e^{2 \cdot 0} = 2$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 e^{0} = 2$

단계 4.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 = 2$

단계 4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 = 2$