미적분 예제

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x - \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

단계 3

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3

곱합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

단계 4.5.2

$1 + x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

단계 5.4

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

단계 5.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ 를 전개합니다.

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단계 5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

단계 5.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

단계 5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1.1

$2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.2

$- \frac{2}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.4

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

단계 5.6.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

단계 5.6.1.7

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.1.7.1

$\frac{2}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

단계 5.6.1.7.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.1.7.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.1.7.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

단계 5.6.1.7.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

단계 5.6.1.7.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

단계 5.6.2

$- \frac{2}{x}$ 를 $\frac{2}{x}$ 에 더합니다.

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

단계 5.6.3

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$