미적분 예제

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

단계 3

$2 k$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 k$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$k$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

단계 8.2.2

$k$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.2

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.4

$\frac{k^{2}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.5

$2$ 와 $\frac{k^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.6

$k$ 와 $\frac{2 k^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.7

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.9

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.10

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.10.2

$k^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 8.2.3.11

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

단계 8.2.3.12

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.12.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

단계 8.2.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 8.2.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 8.2.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

단계 8.2.3.12.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

단계 8.2.3.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

단계 8.2.3.14

$\frac{k^{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

단계 8.2.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $k^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

단계 8.2.3.16

$k^{3}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

단계 8.2.3.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

단계 8.2.3.18

$k^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

단계 8.2.3.19

$3 k^{3}$ 에서 $k^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 k^{3}}{3}$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{3} k^{3}$

단계 9

$\frac{2}{3}$ 와 $k^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 k^{3}}{3}$