미적분 예제

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

단계 2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 3.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u_{1} = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 + 2$

단계 3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 3.4

$u_{1} = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = t + 2$

단계 3.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

단계 3.6

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ 이므로 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = \ln (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\ln (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

단계 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}}$

단계 4.2

$u_{2} = \ln (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (4)$

단계 4.3

$u_{2} = \ln (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

단계 4.4

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

단계 4.5

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

${u_{2}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

단계 5.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

단계 6

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- 2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{2}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

단계 7

$\ln (t + 2)$ , $\ln (4)$ 일 때, $- {u_{2}}^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$5$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

단계 8.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

단계 8.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

단계 8.5

극한값을 계산합니다.

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단계 8.5.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\ln^{- 1} (4)$ 의 극한을 구합니다.

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

단계 8.5.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

단계 8.5.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{\ln (4)}$ 에 더합니다.

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

단계 8.5.2.3

$5$ 와 $\frac{1}{\ln (4)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\ln (4)}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5}{\ln (4)}$

소수 형태:

$3.60673760 \dots$