미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 - 4 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 8 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 4 - 4 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 - 4 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 4 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$0 - 8 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$- 8 x$

단계 1.2

$u = 4 - 4 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

단계 1.3.1.2

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4 + 0$

단계 1.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = 4 - 4 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

단계 1.5.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 - 4$

단계 1.5.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

단계 2.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

단계 2.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

단계 4

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$0$ , $4$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.4

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.5

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.6

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 7.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 7.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

단계 7.2.9

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

단계 7.2.10

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

단계 7.2.11

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

단계 7.2.12

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{8})$

단계 7.2.13

$4$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{8}$

단계 7.2.14

$4$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.14.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1)}{8}$

단계 7.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.14.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

단계 7.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

단계 7.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$

단계 9