미적분 예제

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2}$

단계 1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2}$

단계 1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u_{1}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ 와 $e^{- {u_{1}}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.2

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- {u_{1}}^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 u_{1})$

단계 4.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 u_{1}$

단계 4.2

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0^{2}$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1^{2}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

단계 4.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

단계 4.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 5.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 6

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 1$ , $0$ 일 때, $e^{u_{2}}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

단계 10.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

단계 10.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 11.3

$\frac{1}{e}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 11.4

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

단계 11.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

단계 11.5

$e$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.15803013 \dots$

단계 13