미적분 예제

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y^{3} + 1}$ 을(를) ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = y$ , $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = y^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.2.3

$\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.3

합의 법칙에 의해 $y^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.8

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.8.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.8.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11

분수를 통분합니다.

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단계 3.11.1

$3 y^{2} y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11.2

$3$ 와 $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11.3

$y^{2}$ 와 $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 3.12.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12.2

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.12.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.13

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.14

$y^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.15

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

단계 4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 6.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

단계 6.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ 의 각 항에 $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ 의 각 항에 $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.3

${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.5

지수를 더하여 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.2.1.5.1

${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.5.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.6

$2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ 을 간단히 합니다.

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2.2

$3 y^{3} y'$ 를 $2 y^{3} y'$ 에 더합니다.

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.1

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3

식을 풉니다.

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단계 6.3.1

$5 y^{3} y' + 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$5 y^{3} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.1.2

$2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.1.3

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 6.3.2

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $5 y^{3} + 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 각 항을 $5 y^{3} + 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

$5 y^{3} + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

단계 6.3.2.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$