미적분 예제

$e^{x} + e^{- x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} - e^{- x}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 2.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

단계 2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

단계 2.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 4.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 4.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $e^{x} - e^{- x}$ 입니다.

$e^{x} - e^{- x}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $e^{x} - e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

단계 5.2

양변에 그 값을 더하여 $- e^{- x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$e^{x} = e^{- x}$

단계 5.3

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$x = - x$

단계 5.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$x + x = 0$

단계 5.4.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x = 0$

단계 5.4.2

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 5.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$e^{0} + e^{- (0)}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 + e^{- (0)}$

단계 9.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + e^{0}$

단계 9.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 + 1$

단계 9.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

단계 11.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 1 + e^{0}$

단계 11.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f (0) = 1 + 1$

단계 11.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 2$

단계 11.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 12

$f (x) = e^{x} + e^{- x}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 2)$ 은 극솟값임

단계 13