미적분 예제

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - 4}}{3 x + 5}$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 4}}{3 x + 5}$

단계 1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 2^{2}}}{3 x + 5}$

단계 1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3 x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(3 x + 2) (3 x - 2)}}{3 x + 5}$

단계 2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{3 + \frac{5}{x}}$

단계 3.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 3.3

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 3.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (3 x + 2) (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.4.2

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.4.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x^{1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1 + 1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8.2

곱합니다.

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단계 4.1.2.8.2.1

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8.2.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8.3

$- 6 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.8.4

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.2.9

최고차항 계수가 양수인 짝수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.3

최고차항 계수가 양수인 짝수 차수의 다항식에 대한 음의 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.2

$f (x) = 3 x + 2$ , $g (x) = 3 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.3

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.7

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.8

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.9

$3 x + 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot (3 x + 2) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.10

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.11

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.13

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.14

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.15

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.16

$3 x - 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + 3 \cdot (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.17.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.4

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.5

$9 x$ 를 $9 x$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 6 - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.6

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.17.3.7

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.3.18

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4

소거합니다.

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단계 4.4.1

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1.1

$18 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 (x)}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 4.4.2.2

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

단계 5.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

단계 5.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

단계 5.4

$5$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 \cdot 0}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \sqrt{3^{2}}}{3 + 5 \cdot 0}$

단계 7.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 5 \cdot 0}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 0}$

단계 7.2.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3}$

단계 7.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{3}$

단계 7.4

$- 3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$- 1$