미적분 예제

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

단계 1

$\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

단계 2

$\cos (m x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\cos (m x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

단계 3.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ 을 $\csc (n x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

단계 4

$f (x) = \cos (m x)$ , $g (x) = \csc (n x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 5

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = n x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $n x$ 로 바꿉니다.

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 5.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 5.3

$u_{1}$ 를 모두 $n x$ 로 바꿉니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$n$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $n x$ 의 미분은 $n \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 6.3

$n$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

단계 7

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = m x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $m x$ 로 바꿉니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

단계 7.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

단계 7.3

$u_{2}$ 를 모두 $m x$ 로 바꿉니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$m$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $m x$ 의 미분은 $m \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

단계 8.3

$m$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

항을 다시 정렬합니다.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\cot (n x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.2

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.2.1

$\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 와 $n$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.2.2

$\cos (m x)$ 와 $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.3

$\csc (n x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.4

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.4.1

$\frac{1}{\sin (n x)}$ 에 $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.4.2

$\sin (n x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.4.3

$\sin (n x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

단계 9.2.5

$\csc (n x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

단계 9.2.6

$\frac{1}{\sin (n x)}$ 와 $m$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

단계 9.2.7

$\sin (m x)$ 와 $\frac{m}{\sin (n x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\sin^{2} (n x)$ 에서 $\sin (n x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.3

$\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.4

$\cos (m x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.5

간단히 합니다.

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단계 9.3.5.1

$\cos (m x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.5.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ 을 $\csc (n x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.6

분수를 나눕니다.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.7

$\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ 을 $\cot (n x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.8

$n$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

단계 9.3.9

분수를 나눕니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

단계 9.3.10

$\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

단계 9.3.11

$\sin (m x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

단계 9.3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.12.1

$\sin (m x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

단계 9.3.12.2

$\frac{1}{\sin (n x)}$ 을 $\csc (n x)$ 로 변환합니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

단계 9.3.13

$m$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

단계 9.4

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$