미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

단계 2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

단계 3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

단계 4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

단계 6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $x^{2} (- \cos (x))$ 값을 계산합니다.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

단계 7.1.2

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $x \sin (x)$ 값을 계산합니다.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

단계 7.1.3

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4

간단히 합니다.

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단계 7.1.4.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.4

$0$ 에 $\cos (0)$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.5

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.6

$\frac{π}{2}$ 와 $\sin (\frac{π}{2})$ 을 묶습니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.7

$0$ 에 $\sin (0)$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.8

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

단계 7.1.4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

단계 7.1.4.10

$- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

단계 7.1.4.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

단계 7.1.4.12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

단계 7.1.4.13

$2$ 와 $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ 을 묶습니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

단계 7.1.4.14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.14.1

공약수로 약분합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

단계 7.1.4.14.2

$π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

단계 7.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

단계 7.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

단계 7.2.4

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

단계 7.2.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

단계 7.2.6

${(\frac{π}{2})}^{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

단계 7.2.7

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

단계 7.2.8

$0$ 를 $π$ 에 더합니다.

$π - 2 (- 0 + 1)$

단계 7.2.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π - 2 (0 + 1)$

단계 7.2.10

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$π - 2 \cdot 1$

단계 7.2.11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π - 2$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$π - 2$

소수 형태:

$1.14159265 \dots$