미적분 예제

$2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$

단계 2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 3 x^{2} + 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7 x] + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$2 (x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 (x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (x^{4} (6 x + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.5

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x^{4} (6 x + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{4} (6 x + 7 \cdot 1) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.7

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) (4 x^{3}))$

단계 3.9

$3 x^{2} + 7 x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 (x^{4} (6 x + 7) + 4 \cdot (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + (4 (3 x^{2}) + 4 (7 x)) x^{3})$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2}) x^{3} + 4 (7 x) x^{3})$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{4} (6 x)) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (x \cdot x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (x^{1 + 4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 (x^{5} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.2

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$2 (6 \cdot x^{5}) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.4

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$12 x^{5} + 2 (7 \cdot x^{4}) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.5

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{2} x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 (x^{3} x^{2})) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{3 + 2}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.7.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{5}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.8

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (4 (7 x) x^{3})$

단계 4.5.9

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x \cdot x^{3})$

단계 4.5.10

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.10.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x))$

단계 4.5.10.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.10.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x^{1}))$

단계 4.5.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{3 + 1})$

단계 4.5.10.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{4})$

단계 4.5.11

$28$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 56 x^{4}$

단계 4.5.12

$12 x^{5}$ 를 $24 x^{5}$ 에 더합니다.

$36 x^{5} + 14 x^{4} + 56 x^{4}$

단계 4.5.13

$14 x^{4}$ 를 $56 x^{4}$ 에 더합니다.

$36 x^{5} + 70 x^{4}$