미적분 예제

$x + \cos (x + y) = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \cos (x + y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

단계 2.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

단계 5.1.1.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

단계 5.1.1.2

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에 $\sin (x + y)$ 를 더합니다.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

단계 5.3

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ 의 각 항을 $- \sin (x + y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ 의 각 항을 $- \sin (x + y)$ 로 나눕니다.

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.2.2

$\sin (x + y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$\sin (x + y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.3

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

단계 5.3.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

단계 5.3.3.1.4

$\frac{1}{\sin (x + y)}$ 을 $\csc (x + y)$ 로 변환합니다.

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$