미적분 예제

$y = \frac{12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}$

단계 1

$12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1

$12 e^{6 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}]$

단계 1.2

$- 9 e^{8 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

단계 1.3

$3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

단계 1.4

공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

$3 e^{3 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 (e^{3 x})}]$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

단계 1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}}{e^{3 x}}]$

단계 2

$f (x) = 4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

${(e^{3 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{6 x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (4 e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 5.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 5.4

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 5.5

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 e^{8 x}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 7.2

$8$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \cdot 1) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 7.4

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

단계 8

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 8.3

$u_{3}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

단계 9.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

단계 9.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

단계 9.4

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) + (- 3 (4 e^{6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x})) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{24 e^{3 x} e^{6 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.2

지수를 더하여 $e^{3 x}$ 에 $e^{6 x}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.1.2.1

$e^{6 x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{24 (e^{6 x} e^{3 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{24 e^{6 x + 3 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.2.3

$6 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{24 e^{9 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{3 x} e^{8 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.4

지수를 더하여 $e^{3 x}$ 에 $e^{8 x}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.1.4.1

$e^{8 x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 (e^{8 x} e^{3 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{8 x + 3 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.4.3

$8 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.5

지수를 더하여 $e^{6 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.1.5.1

$e^{3 x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 (e^{3 x} e^{6 x})) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{3 x + 6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.5.3

$3 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{9 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.6

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.7

지수를 더하여 $e^{8 x}$ 에 $e^{3 x}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.1.7.1

$e^{3 x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 (e^{3 x} e^{8 x}))}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{3 x + 8 x})}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.7.3

$3 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

단계 10.4.1.8

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.2

$24 e^{9 x}$ 에서 $12 e^{9 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{12 e^{9 x} - 24 e^{11 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.4.3

$- 24 e^{11 x}$ 를 $9 e^{11 x}$ 에 더합니다.

$\frac{12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.5

$12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.5.1

$12 e^{9 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 e^{9 x}) - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

단계 10.5.2

$- 15 e^{11 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

단계 10.5.3

$3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 e^{9 x} - 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$