미적분 예제

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 4

먼저 $u_{2} = \sec (6 x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = \sec (6 x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\sec (6 x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

단계 4.1.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 4.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 입니다.

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 4.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

단계 4.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

단계 4.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

단계 4.1.3.3.2

$\sec (6 x) \tan (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 6

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

단계 7

먼저 $u_{3} = 2 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 4 x d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{3} = 2 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x)$

단계 7.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x$

단계 7.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{6}$ 와 $u_{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

단계 8.2

$\csc^{2} (u_{3})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

단계 9

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{4}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

단계 10.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

단계 11

$- \cot (u_{3})$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u_{3})$ 이므로, $\csc^{2} (u_{3})$ 의 적분값은 $- \cot (u_{3})$ 이 됩니다.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

단계 12.2.2

$\frac{5}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

단계 12.2.3

$\frac{5}{4}$ 와 $\cot (u_{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (6 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

단계 13.2

$u_{3}$ 를 모두 $2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$