미적분 예제

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

단계 2

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 를 나누어 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분수 $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.2.1

$2 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

단계 2.1.2.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

단계 2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

$2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

단계 2.1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

단계 2.1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

단계 2.2

$\frac{y}{2 x}$ 의 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{y}{2 x}$ 에서 $\frac{y}{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

단계 2.2.2

$\frac{y}{x}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

단계 2.3

$f (\frac{y}{x})$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{x}{2 y}$ 의 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$\frac{x}{2 y}$ 에서 $\frac{x}{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.3.1.2

$\frac{x}{y}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

단계 2.3.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

단계 4

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 5

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 6

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $V$ 을 묶습니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

단계 7.1.1.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

단계 7.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{V}$ 을 곱합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

단계 7.1.1.2

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

단계 7.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 7.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 7.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

단계 7.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

단계 7.1.1.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- V$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.3.1

$- V$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.3.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.1

$V - V \cdot 2$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

$V$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

$V^{1}$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

$- V \cdot 2$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

$V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.1.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.2

$V$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{V}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{V}{V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4.2

$\frac{V}{2}$ 에 $\frac{V}{V}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.4.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4.4.2

$V \cdot V$ 을 $V^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.4.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = V$ 입니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

단계 7.1.1.3.3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 7.1.1.3.3.6

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

단계 7.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 7.1.3

양변에 $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 7.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

단계 7.1.4.2

$2 V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.2.1

$2 V x$ 에서 $2 V$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

단계 7.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

단계 7.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

단계 7.1.4.3

$(1 + V) (1 - V)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

단계 7.1.4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 7.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

단계 7.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 은 $V$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.2

먼저 $u = (1 + V) (1 - V)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 V d V$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = V d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$u = (1 + V) (1 - V)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

$(1 + V) (1 - V)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

단계 7.2.2.2.1.2

$f (V) = 1 + V$ , $g (V) = 1 - V$ 일 때 $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ 는 $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - V$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ 가 됩니다.

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.2

$1$ 이 $V$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d V} [- V]$ 에 더합니다.

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.4

$- 1$ 은 $V$ 에 대해 일정하므로 $V$ 에 대한 $- V$ 의 미분은 $- \frac{d}{d V} [V]$ 입니다.

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.6.2

$1 + V$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.6.3

$- 1 (1 + V)$ 을 $- (1 + V)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

단계 7.2.2.2.1.3.7

합의 법칙에 의해 $1 + V$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ 가 됩니다.

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

단계 7.2.2.2.1.3.8

$1$ 이 $V$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $V$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

단계 7.2.2.2.1.3.9

$0$ 를 $\frac{d}{d V} [V]$ 에 더합니다.

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

단계 7.2.2.2.1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 는 $n V^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

단계 7.2.2.2.1.3.11

$1 - V$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (1 + V) + 1 - V$

단계 7.2.2.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

단계 7.2.2.2.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 - V + 1 - V$

단계 7.2.2.2.1.4.2.2

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- V + 0 - V$

단계 7.2.2.2.1.4.2.3

$- V$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- V - V$

단계 7.2.2.2.1.4.2.4

$- V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$- 2 V$

단계 7.2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.3.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.9

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.2.10

$u$ 를 모두 $(1 + V) (1 - V)$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 7.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 7.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

단계 7.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + | x |) (1 - | x |)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.1.2

$- | x |$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.1.3

$| x |$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.1.5

지수를 더하여 $| x |$ 에 $| x |$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.2.1.5.1

$| x |$ 를 옮깁니다.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.1.5.2

$| x |$ 에 $| x |$ 을 곱합니다.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.2

$- | x |$ 를 $| x |$ 에 더합니다.

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.2.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

단계 7.3.3

방정식의 양변에 $\ln (| x |)$ 를 더합니다.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

단계 7.3.4

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 7.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 7.3.4.2.2

$\ln (| 1 - V^{2} |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 7.3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 7.3.4.3.1.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

단계 7.3.4.3.1.3

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

단계 7.3.4.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ 을 $- \ln (| x |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

단계 7.3.5

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

단계 7.3.6

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

단계 7.3.7

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

단계 7.3.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

단계 7.3.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

단계 7.3.10

$V$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

단계 7.3.11

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

단계 7.3.12

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.1

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

단계 7.3.12.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

단계 7.3.12.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

단계 7.3.12.4

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ 의 각 항을 $- x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.1

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ 의 각 항을 $- x$ 로 나눕니다.

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

단계 7.3.12.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

단계 7.3.12.4.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

단계 7.3.12.4.2.2.2

$V^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

단계 7.3.12.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ 을 간단히 합니다.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

단계 7.3.12.4.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

단계 7.3.12.4.3.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.4.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

단계 7.3.12.4.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

단계 7.3.12.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

단계 7.3.12.6

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.6.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

단계 7.3.12.6.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

단계 7.3.12.6.3

$\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

단계 7.3.12.6.4

$\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

단계 7.3.12.6.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.6.5.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

단계 7.3.12.6.5.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

단계 7.3.12.6.5.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

단계 7.3.12.6.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

단계 7.3.12.6.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

단계 7.3.12.6.5.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.3.12.6.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.3.12.6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.3.12.6.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.12.6.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.3.12.6.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

단계 7.3.12.6.5.6.5

간단히 합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

단계 7.3.12.6.6

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

단계 7.3.12.6.7

$\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

단계 7.4

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

단계 8

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

단계 9

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

단계 9.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$