미적분 예제

$2 y^{2} - x y - 5 + x^{3} = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x y - 5 + x^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 y^{2} - x y - 5 + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$4 y y' - (x y' + y) + 0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' - (x y' + y) + 0 + 3 x^{2}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y y' - (x y') - y + 0 + 3 x^{2}$

단계 2.5.2

$4 y y' - x y' - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 y y' - x y' - y + 3 x^{2}$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 4 y y' - x y' - y$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 4 y y' - x y' - y = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 y y' - x y' - y = - 3 x^{2}$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$4 y y' - x y' = - 3 x^{2} + y$

단계 5.2

$4 y y' - x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$4 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y) - x y' = - 3 x^{2} + y$

단계 5.2.2

$- x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y) + y' (- x) = - 3 x^{2} + y$

단계 5.2.3

$y' (4 y) + y' (- x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$

단계 5.3

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$ 의 각 항을 $4 y - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$y' (4 y - x) = - 3 x^{2} + y$ 의 각 항을 $4 y - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (4 y - x)}{4 y - x} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$4 y - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (4 y - x)}{4 y - x} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{4 y - x} + \frac{y}{4 y - x}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{4 y - x}$

단계 5.3.3.2

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{4 y - x}$

단계 5.3.3.3

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{4 y - x}$

단계 5.3.3.4

$- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{4 y - x}$

단계 5.3.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.5.1

$- (3 x^{2} - y)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{4 y - x}$

단계 5.3.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2} - y}{4 y - x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - y}{4 y - x}$