미적분 예제

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x y - x^{2} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

단계 2.5.2

$4 x y' + 4 y - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x y' + 4 y - 2 x$

단계 2.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $4 y y'$ 를 뺍니다.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

단계 5.3

$4 x y' - 4 y y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$4 x y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

단계 5.3.2

$- 4 y y'$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

단계 5.3.3

$4 y' x + 4 y' (- y)$ 에서 $4 y'$ 를 인수분해합니다.

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

단계 5.4

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ 의 각 항을 $4 (x - y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ 의 각 항을 $4 (x - y)$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.2.2

$x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1.1

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.3.1.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.3.1.1.2.1

$4 (x - y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.2

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.1

$- 4 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

단계 5.4.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

단계 5.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

단계 5.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{y}{x - y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

단계 5.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 (x - y)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.4.3.3.1

$\frac{y}{x - y}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

단계 5.4.3.3.2

$(x - y) \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

단계 5.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

단계 5.4.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$