미적분 예제

$lim_{x \to 0} {(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$ 을 $e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (x + e^{2 x})$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.2.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.2.5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.6.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.6.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.6.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.6.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x + e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + e^{2 x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $x + e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.9

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.10

간단히 합니다.

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단계 3.3.10.1

$\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 e^{2 x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 e^{2 x}) \frac{1}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.10.2

$1 + 2 e^{2 x}$ 에 $\frac{1}{x + e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{1}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}} \cdot 1}$

단계 3.5

$\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.5

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.6

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

단계 4.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x}}}$

단계 4.8

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x}}}$

단계 4.9

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

단계 5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

단계 5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

단계 5.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1 + 2 e^{0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

단계 6.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$e^{\frac{1 + 2 \cdot 1}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

단계 6.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1 + 2}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

단계 6.1.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$e^{\frac{3}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{3}{0 + e^{0}}}$

단계 6.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$e^{\frac{3}{0 + 1}}$

단계 6.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\frac{3}{1}}$

단계 6.3

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$e^{3}$

소수 형태:

$20.08553692 \dots$