미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

단계 3

먼저 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$e^{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 3.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x)$

단계 3.1.4

간단히 합니다.

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단계 3.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} x$

단계 3.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2}}$

단계 3.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = e^{0}$

단계 3.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

단계 3.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

단계 3.6

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $u_{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

단계 5.2

$e^{t^{2}}$ , $1$ 일 때, $\frac{u_{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6

$\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $2$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 6.1

상수 배수 $2$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

단계 6.2

극한값을 계산합니다.

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단계 6.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

단계 6.2.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

단계 6.2.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

단계 6.3

지수 $t^{2}$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{t^{2}}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

단계 6.4

극한값을 계산합니다.

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단계 6.4.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

단계 6.4.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

단계 6.4.3

답을 간단히 합니다.

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단계 6.4.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.4.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\infty - 1}{2}$

단계 6.4.3.1.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{2}$

단계 6.4.3.2

무한대를 유한하고 0이 아닌 모든 값으로 나누면 무한대입니다.

$\infty$