미적분 예제

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | x^{2} - 1 |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| x^{2} - 1 |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| x^{2} - 1 |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

단계 2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

단계 3

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ 에 $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 5

$x^{2} - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 6

$x^{2} - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 11

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

단계 12

분수를 통분합니다.

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단계 12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

단계 12.2

$2$ 와 $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

단계 12.3

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.3.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 13.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.3.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

단계 13.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$