미적분 예제

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = {(x - 3)}^{3}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

단계 4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ 에서 $x {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.1.1

$x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ 에서 $x {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

단계 5.1.1.2

$- 2 {(x - 3)}^{3} x$ 에서 $x {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

단계 5.1.1.3

$x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ 에서 $x {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

단계 5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

단계 5.1.4

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

단계 5.1.5

$3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

단계 5.2

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$