미적분 예제

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (y) = x^{2} + 5$ , $g (y) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.2.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [x]$ 입니다.

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$3 x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.4.2.2

$x^{2} + 5$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

단계 3.4.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ 가 됩니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

단계 3.5

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

단계 3.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

단계 3.5.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

단계 3.6

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

단계 3.7

$5$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$2 x x'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

단계 3.8.2

$3 x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

단계 3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

단계 3.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

단계 3.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

단계 3.9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

단계 3.9.5

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.6.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

단계 3.9.6.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

단계 3.9.6.8

$3 x^{2} x'$ 를 $6 x^{2} x'$ 에 더합니다.

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

단계 3.9.7

항을 다시 정렬합니다.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

단계 5.2

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$9 x^{2} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

단계 5.2.2

$2 x x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

단계 5.2.3

$15 x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

단계 5.2.4

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

단계 5.2.5

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

단계 5.3

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ 의 각 항을 $9 x^{2} + 2 x + 15$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ 의 각 항을 $9 x^{2} + 2 x + 15$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$9 x^{2} + 2 x + 15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

단계 5.3.2.1.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$