미적분 예제

$x^{3} e^{x^{2}}$

단계 1

먼저 $u = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

단계 2.2

$\frac{u}{2}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

단계 8.2

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

단계 8.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

단계 8.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$