미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x$

단계 1

곱하여 분자를 유리화합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x) (\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x)}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

FOIL 계산법을 이용하여 분자를 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)}}^{2} + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} x + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} (- x) - x^{2}}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420 + 0}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

단계 2.2.2

$4041 x + 4082420$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

단계 3

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x = \sqrt{x^{2}}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

단계 4.1.2

$4041$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

단계 4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 4.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 4.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 4.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4041$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 4.6

$4082420$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4041 + 4082420 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 6.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2020) (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 7.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2021) + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.4

$x$ 와 $2021$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2021 \cdot x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.8.2

$2020$ 에 $2021$ 을 곱합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.8.3

$2021 x$ 를 $2020 x$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4041 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.2.9

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.2

$f (x) = x + 2020$ , $g (x) = x + 2021$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \frac{d}{d x} [x + 2021] + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 2021$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]$ 가 됩니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.5

$2021$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2021$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2021$ 입니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + 0) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \cdot 1 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.7

$x + 2020$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.8

합의 법칙에 의해 $x + 2020$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020]$ 가 됩니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.10

$2020$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2020$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2020$ 입니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.12

$x + 2021$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + x + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.13

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2020 + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.14

$2020$ 를 $2021$ 에 더합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 7.3.15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{2 x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 9

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 10.6

$4041$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 11

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 12

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

단계 12.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + 1}$

단계 12.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$2 + 4041 \cdot 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

단계 12.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.2.1

$4082420$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4041 + 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

단계 12.3.2.2

$4041$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

단계 12.3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.3.1

$4041$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)} + 1}$

단계 12.3.3.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

단계 12.3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{2}{2}} + 1}$

단계 12.3.3.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{4041}{\sqrt{1} + 1}$

단계 12.3.3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{4041}{1 + 1}$

단계 12.3.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4041}{2}$