미적분 예제

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

단계 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

단계 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

단계 3.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

단계 3.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

단계 3.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

단계 3.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

단계 3.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 3.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

단계 3.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

단계 3.5.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

단계 3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

단계 3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

단계 5

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 6.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$