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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
미분합니다.
단계 1.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2
의 값을 구합니다.
단계 1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3
에 을 곱합니다.
단계 1.3
의 값을 구합니다.
단계 1.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.3.3
에 을 곱합니다.
단계 1.4
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.4.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.4.2
를 에 더합니다.
단계 2
단계 2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
단계 2.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3
에 을 곱합니다.
단계 2.3
의 값을 구합니다.
단계 2.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
에 을 곱합니다.
단계 2.4
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.4.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.4.2
를 에 더합니다.
단계 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 4
단계 4.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 4.1.1
미분합니다.
단계 4.1.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2
의 값을 구합니다.
단계 4.1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2.3
에 을 곱합니다.
단계 4.1.3
의 값을 구합니다.
단계 4.1.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.3.3
에 을 곱합니다.
단계 4.1.4
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.4.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 4.1.4.2
를 에 더합니다.
단계 4.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 5.2
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
단계 5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.2
인수분해합니다.
단계 5.2.2.1
유리근 정리르 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 5.2.2.1.1
다항함수의 계수가 정수인 경우, 가 상수의 약수이며 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 의 형태를 가집니다.
단계 5.2.2.1.2
의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.
단계 5.2.2.1.3
을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 이므로 은 다항식의 근입니다.
단계 5.2.2.1.3.1
을 다항식에 대입합니다.
단계 5.2.2.1.3.2
를 승 합니다.
단계 5.2.2.1.3.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.2.2.1.3.4
를 에 더합니다.
단계 5.2.2.1.4
는 알고 있는 해이므로 다항식을 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.
단계 5.2.2.1.5
을 로 나눕니다.
단계 5.2.2.1.5.1
다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 인 항을 삽입합니다.
+ | + | + | + |
단계 5.2.2.1.5.2
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
+ | + | + | + |
단계 5.2.2.1.5.3
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
+ | + | + | + | ||||||||
+ | + |
단계 5.2.2.1.5.4
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
+ | + | + | + | ||||||||
- | - |
단계 5.2.2.1.5.5
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- |
단계 5.2.2.1.5.6
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + |
단계 5.2.2.1.5.7
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
- | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + |
단계 5.2.2.1.5.8
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
- | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | - |
단계 5.2.2.1.5.9
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
- | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + |
단계 5.2.2.1.5.10
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
- | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ |
단계 5.2.2.1.5.11
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
- | |||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
단계 5.2.2.1.5.12
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
- | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
단계 5.2.2.1.5.13
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
- | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
단계 5.2.2.1.5.14
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
- | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
단계 5.2.2.1.5.15
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
- | + | ||||||||||
+ | + | + | + | ||||||||
- | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
단계 5.2.2.1.5.16
나머지가 이므로, 몫이 최종해입니다.
단계 5.2.2.1.6
을 인수의 집합으로 표현합니다.
단계 5.2.2.2
불필요한 괄호를 제거합니다.
단계 5.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 5.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 5.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.4.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 5.5
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 5.5.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 5.5.2
을 에 대해 풉니다.
단계 5.5.2.1
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
단계 5.5.2.2
이차함수의 근의 공식에 , , 을 대입하여 를 구합니다.
단계 5.5.2.3
간단히 합니다.
단계 5.5.2.3.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.5.2.3.1.1
를 승 합니다.
단계 5.5.2.3.1.2
을 곱합니다.
단계 5.5.2.3.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.3.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.3.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.5.2.3.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.3.1.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.3.1.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.4
수식을 간단히 하여 의 부분에 대해 식을 풉니다.
단계 5.5.2.4.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.5.2.4.1.1
를 승 합니다.
단계 5.5.2.4.1.2
을 곱합니다.
단계 5.5.2.4.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.4.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.4.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.5.2.4.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.4.1.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.4.1.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.4.3
을 로 바꿉니다.
단계 5.5.2.5
수식을 간단히 하여 의 부분에 대해 식을 풉니다.
단계 5.5.2.5.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.5.2.5.1.1
를 승 합니다.
단계 5.5.2.5.1.2
을 곱합니다.
단계 5.5.2.5.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.5.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.5.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.5.2.5.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.5.1.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.5.1.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.2.5.2
에 을 곱합니다.
단계 5.5.2.5.3
을 로 바꿉니다.
단계 5.5.2.6
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
단계 5.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 6
단계 6.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 7
계산할 임계점.
단계 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 9
단계 9.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 9.1.1
를 승 합니다.
단계 9.1.2
에 을 곱합니다.
단계 9.2
를 에 더합니다.
단계 10
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 11
단계 11.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 11.2
결과를 간단히 합니다.
단계 11.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 11.2.1.1
를 승 합니다.
단계 11.2.1.2
를 승 합니다.
단계 11.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 11.2.1.4
에 을 곱합니다.
단계 11.2.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
단계 11.2.2.1
를 에 더합니다.
단계 11.2.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 11.2.2.3
를 에 더합니다.
단계 11.2.3
최종 답은 입니다.
단계 12
에 대한 극값입니다.
은 극솟값임
단계 13