미적분 예제

$\frac{d}{d x} (\arctan (x) + 2 \sqrt{x})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (x) + 2 \sqrt{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

단계 2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.13

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 묶습니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 에 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 4.1.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

단계 4.1.3.3

$(1 + x^{2}) x^{\frac{1}{2}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$