미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

단계 1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 3.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ 와 $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

단계 6.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

단계 6.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

단계 6.2.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

단계 6.2.2.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

단계 6.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

단계 6.2.2.5

$- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

단계 6.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

단계 6.2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.1.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.4

인수분해된 형태로 $e^{2} - 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.1.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

단계 7.1.2

$e$ 은 약 $2.71828182$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

단계 7.1.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

단계 7.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

단계 7.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

단계 7.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(e + 1) (e - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

단계 7.4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

단계 7.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

$e$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2.1.2

$- 1 e$ 을 $- e$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2.1.3

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2.2

$- e$ 를 $e$ 에 더합니다.

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.2.3

$e e$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

단계 7.4.3

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{e e + 1}{2}$

단계 7.4.4

$e e$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.4.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

단계 7.4.4.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

단계 7.4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

단계 7.4.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

소수 형태:

$4.19452804 \dots$

단계 9