미적분 예제

$\int \frac{6}{2 x + 3 x^{2}} d x$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int \frac{1}{2 x + 3 x^{2}} d x$

단계 2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 x + 3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot 2 + 3 x^{2}}$

단계 2.1.1.2

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot 2 + x (3 x)}$

단계 2.1.1.3

$x \cdot 2 + x (3 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot (2 + 3 x)}$

단계 2.1.1.4

$x$ 에 $2 + 3 x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (2 + 3 x)}$

단계 2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$

단계 2.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (2 + 3 x)$ 입니다.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.5

$2 + 3 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.1.2

$A (2 + 3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (2 + 3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A \cdot 2 + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$1 = 2 \cdot A + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 = 2 \cdot A + 3 A x + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.5

$2 + 3 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = 2 A + 3 A x + \frac{B (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

단계 2.1.6.5.2

$(B) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = 2 A + 3 A x + (B) (x)$

$1 = 2 A + 3 A x + B x$

단계 2.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

단계 2.1.7.2

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

단계 2.1.7.3

$2 A$ 를 옮깁니다.

$1 = 3 x A + B x + 2 A$

단계 2.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = 3 A + B$

단계 2.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = 2 A$

단계 2.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

단계 2.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1 = 2 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$2 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

단계 2.3.1.2

$2 A = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$2 A = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

단계 2.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

단계 2.3.1.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

단계 2.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$0 = 3 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

단계 2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

단계 2.3.3

$0 = \frac{3}{2} + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{3}{2} + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에서 $\frac{3}{2}$ 를 뺍니다.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

단계 2.3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

단계 2.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

단계 2.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

단계 2.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

단계 2.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 + 3 x}$

단계 2.5.4

$\frac{1}{2 + 3 x}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{(2 + 3 x) \cdot 2}$

단계 2.5.5

$2 + 3 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 \int \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$6 (\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x))$

단계 8

먼저 $u = 2 + 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = 2 + 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 + 3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

단계 8.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 8.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 8.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3 \cdot 1$

단계 8.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 3$

단계 8.1.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u)$

단계 9.2

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u)$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u))$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 11.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 11.3

$3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 11.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 11.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 11.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 12

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $2 + 3 x$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| x |)$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

단계 15.1.2

$\ln (| 2 + 3 x |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{\ln (| 2 + 3 x |)}{2}) + C$

단계 15.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 \frac{\ln (| x |) - \ln (| 2 + 3 x |)}{2} + C$

단계 15.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$6 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

단계 15.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

단계 15.4.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

단계 15.4.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |}) + C$