미적분 예제

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

단계 3.2

$7^{u_{1}} - 5$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$7^{u_{1}} - 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $7^{u_{1}} - 5$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

단계 6.1.3

$a$ = $7$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

단계 6.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.4.1

$- 5$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

단계 6.1.4.2

$7^{u_{1}} \ln (7)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7^{u_{1}} \ln (7)$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

단계 7

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{\ln (7)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{\ln (7)}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{\ln (7)}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{\ln (7)}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 9.2

$\ln (7)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 12.1

$u_{2}$ 를 모두 $7^{u_{1}} - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

단계 12.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$