미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

단계 1.9

간단히 합니다.

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단계 1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

단계 1.9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.9.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

단계 1.9.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

단계 2.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.3.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (1 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.3.1.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

단계 2.7.3.2

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

단계 2.7.3.3

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x}{x^{4}}$

단계 2.7.4

항을 묶습니다.

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단계 2.7.4.1

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.4.1.1

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

단계 2.7.4.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.4.1.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.7.4.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.7.4.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

단계 2.7.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6