미적분 예제

$y = x^{5 \sin (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

단계 2

$5 \sin (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{5 \sin (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$5 \sin (x) \ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

단계 3.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \sin (x) \ln (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.5

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

단계 3.2.7

간단히 합니다.

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단계 3.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

단계 3.2.7.2

$5$ 와 $\frac{\sin (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

단계 3.2.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$5 \cos (x) \ln (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$\ln (x)$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

단계 5.1.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \cdot \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

단계 5.3

$\frac{5 \sin (x)}{x}$ 와 $x^{5 \sin (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

단계 5.4

$x^{5 \sin (x)}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

단계 5.4.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

단계 5.4.2.5

$5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

단계 5.5

$\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$