미적분 예제

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

단계 1.5.2

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + 0$

단계 2.4.2

$- 12 x^{2} + 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

단계 4.1.5.2

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x - 1$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

단계 8

$x = - 1.4729976$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(- 1.4729976)}^{2} + 8$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 1.4729976$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \cdot 2.16972193 + 8$

단계 9.1.2

$- 12$ 에 $2.16972193$ 을 곱합니다.

$- 26.03666319 + 8$

단계 9.2

$- 26.03666319$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 18.03666319$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1.4729976$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1.4729976$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = - 1.4729976$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.4729976$ 을 대입합니다.

$f (- 1.4729976) = - {(- 1.4729976)}^{4} + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1.4729976$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1.4729976) = - 1 \cdot 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

단계 11.2.1.2

$- 1$ 에 $4.70769326$ 을 곱합니다.

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

단계 11.2.1.3

$- 1.4729976$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 \cdot 2.16972193 - (- 1.4729976) - 2$

단계 11.2.1.4

$4$ 에 $2.16972193$ 을 곱합니다.

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 - (- 1.4729976) - 2$

단계 11.2.1.5

$- 1$ 에 $- 1.4729976$ 을 곱합니다.

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 + 1.4729976 - 2$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$- 4.70769326$ 를 $8.67888773$ 에 더합니다.

$f (- 1.4729976) = 3.97119446 + 1.4729976 - 2$

단계 11.2.2.2

$3.97119446$ 를 $1.4729976$ 에 더합니다.

$f (- 1.4729976) = 5.44419206 - 2$

단계 11.2.2.3

$5.44419206$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 1.4729976) = 3.44419206$

단계 11.2.3

최종 답은 $3.44419206$ 입니다.

$y = 3.44419206$

단계 12

$x = 0.12600019$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(0.12600019)}^{2} + 8$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$0.12600019$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \cdot 0.01587604 + 8$

단계 13.1.2

$- 12$ 에 $0.01587604$ 을 곱합니다.

$- 0.19051258 + 8$

단계 13.2

$- 0.19051258$ 를 $8$ 에 더합니다.

$7.80948741$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 0.12600019$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0.12600019$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 0.12600019$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.12600019$ 을 대입합니다.

$f (0.12600019) = - {(0.12600019)}^{4} + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$0.12600019$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (0.12600019) = - 1 \cdot 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

단계 15.2.1.2

$- 1$ 에 $0.00025204$ 을 곱합니다.

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

단계 15.2.1.3

$0.12600019$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 \cdot 0.01587604 - (0.12600019) - 2$

단계 15.2.1.4

$4$ 에 $0.01587604$ 을 곱합니다.

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - (0.12600019) - 2$

단계 15.2.1.5

$- 1$ 에 $0.12600019$ 을 곱합니다.

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - 0.12600019 - 2$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 0.00025204$ 를 $0.06350419$ 에 더합니다.

$f (0.12600019) = 0.06325214 - 0.12600019 - 2$

단계 15.2.2.2

$0.06325214$ 에서 $0.12600019$ 을 뺍니다.

$f (0.12600019) = - 0.06274804 - 2$

단계 15.2.2.3

$- 0.06274804$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (0.12600019) = - 2.06274804$

단계 15.2.3

최종 답은 $- 2.06274804$ 입니다.

$y = - 2.06274804$

단계 16

$x = 1.3469974$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(1.3469974)}^{2} + 8$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$1.3469974$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \cdot 1.81440201 + 8$

단계 17.1.2

$- 12$ 에 $1.81440201$ 을 곱합니다.

$- 21.77282422 + 8$

단계 17.2

$- 21.77282422$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 13.77282422$

단계 18

이계도함수가 음수이므로 $x = 1.3469974$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1.3469974$ 은 극대값입니다

단계 19

$x = 1.3469974$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.3469974$ 을 대입합니다.

$f (1.3469974) = - {(1.3469974)}^{4} + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

$1.3469974$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (1.3469974) = - 1 \cdot 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

단계 19.2.1.2

$- 1$ 에 $3.29205468$ 을 곱합니다.

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

단계 19.2.1.3

$1.3469974$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 \cdot 1.81440201 - (1.3469974) - 2$

단계 19.2.1.4

$4$ 에 $1.81440201$ 을 곱합니다.

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - (1.3469974) - 2$

단계 19.2.1.5

$- 1$ 에 $1.3469974$ 을 곱합니다.

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - 1.3469974 - 2$

단계 19.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1

$- 3.29205468$ 를 $7.25760807$ 에 더합니다.

$f (1.3469974) = 3.96555338 - 1.3469974 - 2$

단계 19.2.2.2

$3.96555338$ 에서 $1.3469974$ 을 뺍니다.

$f (1.3469974) = 2.61855598 - 2$

단계 19.2.2.3

$2.61855598$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (1.3469974) = 0.61855598$

단계 19.2.3

최종 답은 $0.61855598$ 입니다.

$y = 0.61855598$

단계 20

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 에 대한 극값입니다.

$(- 1.4729976, 3.44419206)$ 은 극댓값임

$(0.12600019, - 2.06274804)$ 은 극솟값임

$(1.3469974, 0.61855598)$ 은 극댓값임

단계 21