미적분 예제

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

단계 1.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 1.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 1.5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 + x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 2.1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 2.1.3.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 2.1.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.1.4.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.2

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 2 + 1$

단계 2.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 2.4

$u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2.5.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.5.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.5.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

단계 2.5.1.4

지수값을 계산합니다.

$u_{upper} = 2 + 2$

단계 2.5.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

단계 5

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$4$ , $3$ 일 때, $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.5

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 6.2.6

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $3^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

단계 6.2.7

지수를 더하여 $3^{\frac{3}{2}}$ 에 $3^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.7.1

$3^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

단계 6.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

단계 6.2.7.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

단계 6.2.7.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

단계 6.2.7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

단계 6.2.7.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.7.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

단계 6.2.7.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

단계 6.2.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2

$2 (\frac{16}{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 와 $\frac{16}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

단계 7.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

소수 형태:

$3.73846343 \dots$

단계 9