미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 2.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 2.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 2.4

$u = 1 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

단계 3.2

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{2}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 와 $- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{2}^{1 + t^{2}}}{2}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1 + t^{2}$ , $2$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 2^{- 1}}{2}$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + \frac{1}{2}}{2}$

단계 8.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

단계 8.2.3

$- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{2}$

단계 8.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot 2 + 1}{2}}{2}$

단계 8.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$

단계 8.2.6

$\frac{\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 8.2.7

$\frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2 \cdot 2}$

단계 8.2.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{4}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 2 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{4}$

단계 9.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{4}$

단계 9.3

$- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

단계 9.4

$- (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ 을 $- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{4}$

단계 9.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

단계 10

극한값을 계산합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{4}$

단계 10.2

$\frac{1}{4}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

단계 10.3

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.4

$2$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{1 + t^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

단계 10.7

극한값을 계산합니다.

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단계 10.7.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

단계 10.7.2

답을 간단히 합니다.

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단계 10.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.7.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - 1 \cdot 1)$

단계 10.7.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

단계 10.7.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

단계 10.7.2.3

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 10.7.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4})$

단계 10.7.2.3.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.25$