미적분 예제

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = 7^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{\ln (7)}$ 와 $7^{x}$ 을 묶습니다.

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

단계 3

$\frac{1}{\ln (7)}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{\ln (7)}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

단계 4

$7^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 입니다.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ 와 $\frac{1}{\ln (7)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

단계 5.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

단계 5.2.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3

간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

지수값을 계산합니다.

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.6

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.7

지수값을 계산합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.10

$7$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

단계 5.2.3.11

$\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

단계 5.2.3.12

$\frac{6}{\ln (7)}$ 에 $\frac{1}{\ln (7)}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

단계 5.2.3.13

$\ln (7)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

단계 5.2.3.14

$\ln (7)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

단계 5.2.3.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

단계 5.2.3.16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

소수 형태:

$2.01273935 \dots$

단계 7