미적분 예제

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

단계 2

$f (x) = 3 x - 1$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.6.2

$x^{2} + 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4.1.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4.1.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.4.2

$3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 9 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 3 x^{2} + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.6

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.7

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.8

$- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.9

$9$ 을 $- 1 (- 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.10

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.11

$- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

단계 5

항을 묶습니다.

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단계 5.1

$2$ 와 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} (- \frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

단계 5.2

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ 에 $\frac{3 x^{2} - 2 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.3

지수를 더하여 $x^{2} + 3$ 에 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1

$x^{2} + 3$ 에 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.1

$x^{2} + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

단계 5.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{2 (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$