미적분 예제

$y' = y x^{3}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = y x^{3}$

단계 2

변수를 분리합니다.

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단계 2.1

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

단계 2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

$y x^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3}))$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x^{3})$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

단계 2.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = x^{3} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{3} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

단계 3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y |$

단계 4.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.1

$| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

단계 4.3.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

단계 4.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 5.1

$e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ 을 $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$

단계 5.2

$e^{\frac{x^{4}}{4}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}}$